Análisis matemático de algunos juegos de magia

Antonio Javier Serrano Mora

Primavera de 2006

Resumen

Destripar trucos de magia nunca ha sido costumbre entre magos, pero como yo sólo soy un matemático aficionado a la magia, supongo que se me disculpará semejante atrevimiento. Este artículo trata de analizar la causa de que algunos trucos de magia con cartas funcionen siempre, independientemente de la calidad del mago. Aunque la buena presentación, la atención de los espectadores, la expectación y la sorpresa final sólo los buenos magos podrán conseguirla.

1  Vocabulario básico

Casi

Picas

Tréboles

Corazones

Diamantes



Oros

Copas

Espadas

Bastos

todos los magos usan para sus trucos de cartas la llamada <<baraja francesa>>. Sus 52 cartas están repartidas en cuatro <<palos>>, dos negros (picas y tréboles) y dos rojos (diamantes y corazones), como se muestra al margen.
Cada palo está compuesto por 13 cartas: un <<as>> (rotulada A), una <<jota>> (rotulada J), una <<dama>> (rotulada Q), un <<rey>> (rotulada K) y nueve cartas rotuladas con los números del 2 al 10, ambos inclusive, y cuyo nombre es igual al número que lucen.
A veces se usa también la llamada <<baraja española>> de 40 cartas. Consta de cuatro palos: oros, copas, espadas y bastos y cada palo tiene 10 cartas: la <<sota>> (rotulada con el 10), el <<caballo>> (rotulada con el 11), el <<rey>> (rotulado con el 12), el <<as>> (rotulado con el 1) y seis cartas más rotuladas con los números del 2 al 7, ambos inclusive. Muchas veces, la baraja española añade dos cartas, numeradas con el 8 y el 9, en cada palo, convirtiéndose en una baraja de 48 cartas.
En la baraja francesa, se conocen como <<figuras>> a la jota, la dama y el rey. En la española, las figuras son la sota, el caballo y el rey.
En muchos de los trucos que veremos, es indiferente usar una baraja u otra y, para los demás, son necesarias pequeñas adaptaciones si cambiamos la baraja.
Llamamos <<cara>> de una carta a la parte donde se representa la figura, con su número o letra y el palo. No hay dos cartas con la misma cara. Llamamos <<dorso>> de una carta a la parte contraria de la cara. Todas las cartas tienen el mismo dorso. Llamamos <<mazo>> al montón que forman las cartas apiladas una sobre otra. La posición natural del mazo es con todas las cartas orientadas de modo que sus caras no sean visibles, apoyadas sobre una mesa o sobre una mano. La primera carta del mazo es la que está colocada sobre todas las demás, de la que sólo vemos su dorso. El dorso de la primera carta se llamará <<parte superior>> del mazo. La última carta del mazo es la que tiene su cara apoyada sobre la mesa o sobre la mano. La cara de la última carta se llamará <<parte inferior>> del mazo. Si por alguna razón se necesitara orientar el mazo en sentido contrario, con las caras de las cartas hacia arriba, entonces lo denominaremos <<mazo invertido>>.
Cuando, de un mazo, se trasladan las n primeras cartas desde la parte superior a la inferior, se dice que se ha dado un <<corte>> a la baraja. Esta acción es muy usada en los trucos de magia porque introduce un aparente desorden en el mazo. Más adelante se verá que, efectivamente, el desorden es mínimo.

2  Adivinar una carta

Este truco es de los más sencillos y, seguramente, de los más repetidos en las sobremesas familiares, sobre todo por los niños.

2.1  Efecto

El mago mezcla bien las cartas y las abre en abanico con el dorso hacia arriba para que un espectador escoja una carta. Tras mirarla y memorizarla, el espectador la devuelve al mazo.
El mago le da la posibilidad al espectador de cortar la baraja cuantas veces desee. Una vez hecho, el mago va cogiendo las cartas, una a una, y va formando con ellas un mazo invertido. Cuando aparece la carta elegida por el espectador el mago se detiene anunciando su adivinación.

2.2  Truco mágico

Cuando el espectador saca del abanico de cartas la elegida, y mientras la observa para memorizarla, el mago tiene que hacer dos mazos con las cartas, uno en cada mano. Da igual que estos mazos no sean exactamente iguales. Lo único importante es que el mago ha de memorizar la última carta del mazo que tenga en su mano derecha. La llamaremos carta <<chivata>>. Lógicamente, el mago ha de mirar con todo el disimulo posible esta carta. Cuando el espectador ya ha memorizado la carta elegida, el mago le ofrece el mazo de su mano izquierda para que la coloque sobre él y después se coloca el mazo de la mano derecha sobre la carta elegida. De esta forma, la carta chivata está colocada sobre la carta elegida.
Después de que el espectador dé los cortes que estime a la baraja, el mago va poniendo de cara las cartas. Sólo tiene que esperar a que aparezca la carta chivata. Entonces, la siguiente carta en salir es la carta elegida por el espectador. Si por casualidad la carta chivata saliera la última, entonces la carta elegida es la primera que se sacó, es decir, la que en estos momentos yace debajo del mazo invertido.

2.3  Truco matemático

La clave de este truco reside en los cortes que se le dan a la baraja. Imaginemos un mazo de cartas y éstas numeradas desde el 1 hasta el 40 de arriba hacia abajo (estamos usando baraja española). Podemos recorrerlas todas en orden: de la primera pasamos a la segunda, de ésta a la tercera... y cuando lleguemos a la última pasamos a la primera otra vez, cerrando una especie de círculo. Considerar que tras la última carta viene la primera es dotar al mazo de un <<orden circular>>, cosa fundamental para comprender lo siguiente.
El mazo puede describirse mediante la sucesión de números naturales M1={1,2,3,¼,39,40}

En un corte se escogen las n primeras cartas del mazo y se pasan a su parte inferior. El mazo resultante puede describirse mediante la sucesión M2={n+1,n+2,¼,39,40,1,2,¼,n-1,n}

Como se observa, el orden circular del mazo sigue siendo el mismo: tras la carta 1 viene la 2, tras la 2 la 3..., tras la 40 la 1... Se puede afirmar, entonces, que el orden circular de un mazo es <<invariante>> mediante cortes de la baraja.

Lo anterior quiere decir que, por muchos cortes que le demos al mazo, nunca conseguiremos separar la carta chivata de la carta elegida, pues se trata de cartas consecutivas, como se explicó más arriba. La única forma de separar ambas cartas es dejando la chivata al final del mazo, pero entonces la elegida será la siguiente, es decir, la primera de todas.

3  El reloj

3.1  Efecto

El mago
Este truco se lo vi
hacer al dependiente
de la tienda de magia
Mágicus de Barcelona.
Me gustó tanto que se lo
compré inmediatamente.
pide a un espectador que piense un número, sin decirlo, de los que aparecen en un reloj normal de agujas, es decir, un número entero entre 1 y 12. Cuando el espectador lo ha pensado, el mago le entrega, en un sobre, una predicción sobre una carta que elegirá el espectador más adelante y le pide que se la guarde, sin leerla de momento, en el bolsillo.
Luego, el mago le entrega un mazo de cartas y le pide que pase de la parte superior del mazo a la inferior tantas cartas como el número que ha pensado sin que nadie lo vea. Una vez hecho esto, el espectador devuelve el mazo y el mago coloca sobre la mesa las 12 cartas superiores, una a una, para hacer un mazo con ellas, mientras que explica que va a formar un reloj. El resto de cartas se dejan a parte, sobre la mesa, o se le pide a otro espectador que, sin mirarlas, las guarde hasta que el mago se las vuelva a pedir.
Para formar el reloj, el mago coloca la primera carta del montón de 12 en el lugar imaginario que ocuparía el 1 de un reloj, la segunda en el lugar del 2 y, así, hasta la carta 12 que se coloca en el lugar habitual del número 12 en los relojes. Todas las cartas permanecen con el dorso hacia arriba. El mago, entonces, le pide al espectador que diga en voz alta el número pensado y que le dé la vuelta a la carta que ocupa ese lugar en el reloj. La carta que aparezca es la carta elegida por el espectador.
En este momento, el mago solicita al espectador que lea la predicción que tiene guardada en su bolsillo desde el principio del juego y que diga en voz alta si acertó o no. El espectador, tras leer la predicción del mago, se muestra dubitativo, desencantado incluso, pero termina por afirmar, aunque a regañadientes, que el mago acertó la predicción. No le falta razón al espectador, pues en la predicción el mago escribió: <<La carta que usted eligió NO es la dama de corazones>>.
El mago, notando las dudas del espectador, entabla un diálogo con él, de forma que éste termina por reconocer que la adivinación era muy fácil, pues en toda la baraja sólo hay una dama de corazones y que, además, el mago la podría haber quitado de la baraja para que no saliera. Entonces el mago da el golpe final. Diciendo que no quitó la dama de corazones de la baraja y que la probabilidad de que saliera no es tan baja como parece, comienza a darle la vuelta a todas las cartas del reloj que aún están con la cara hacia abajo. El espectador se va asombrando cada vez más: todas las cartas del reloj, salvo la elegida, son la dama de corazones. Tras mostrar las once damas de corazones que había en el reloj junto a la carta elegida, el mago voltea las cartas del mazo que estaba apartado y, también, todas esas cartas son la dama de corazones. La sorpresa del espectador llega a su máximo en este momento.

3.2  Truco mágico

Por supuesto se trata de una baraja preparada. El mazo está compuesto por 51 damas de corazones y otra carta distinta, digamos el 4 de picas. Al principio, el 4 de picas ha de estar situado en el lugar número 13 del mazo. Lo demás consiste en seguir la descripción del juego hecha más arriba. Es importante que nadie vea las caras de las cartas porque se perdería la sorpresa final.

3.3  Truco matemático

Consideremos el mazo formado por una baraja de 52 cartas. La carta número 13 del mazo es el 4 de picas. El espectador elige las n primeras cartas del mazo y las pasa abajo. Entonces, el 4 de picas avanza n posiciones en el mazo, es decir, se coloca en el lugar número 13-n. Cuando el mago hace un montón de 12 cartas del mazo en la mesa, el efecto es que invierte su orden, de forma que la primera carta pasa a ser la número 12, la segunda la número 11... y la carta número m pasa a ser la 13-m. El 4 de picas, que estaba en el lugar número 13-n pasa a ocupar el lugar número 13-(13-n)=n, es decir, exactamente el número de cartas que pensó el espectador. Por eso el mago tiene la seguridad de que la carta elegida es la única distinta de la dama de corazones.
El hecho de colocar el 4 de picas en la posición 13 es debido a que se necesitan 12 cartas para hacer un reloj y el truco queda bonito presentado así. Pero el principio matemático usado sigue siendo válido para cualquier número de cartas. Imaginemos que, en lugar de un reloj, el mago va a hacer una figura para la que necesita N cartas. Entonces debe situar el 4 de picas en el lugar N+1. De esta forma, cuando el espectador quite las n primeras cartas del mazo (ahora n puede ser cualquier número entre 1 y N), el 4 de picas pasará a ocupar la posición N+1-n y cuando el mago invierta el orden de las N primeras cartas del mazo, el 4 de picas pasará a la posición N+1-(N+1-n)=n.
Este principio puede ser usado al comienzo de cualquier otro truco para <<forzar>> al espectador a que elija la carta deseada por el mago.

4  Las tres anillas de papel

4.1  Efecto

El mago1 aparece ante el público con tres anillas grandes de papel en la mano y unas tijeras. Anuncia que va a hacer un ejercicio auténticamente peligroso y difícil. Coge una de las anillas y, con las tijeras, la va cortando por su centro paralelamente a los lados de la anilla. Cuando termina el corte, se producen dos anillas iguales que la primera pero de la mitad de ancho.
El mago pide dos voluntarios que crean que pueden repetir lo hecho por él, esto es: cortar la anilla de papel paralelamente a sus lados. Cuando los voluntarios terminan de hacer el corte en las otras dos anillas que trajo el mago al principio, la sorpresa es grande: uno de ellos produce dos anillas enlazadas y el otro produce una sola anilla el doble de larga.

4.2  Truco mágico

El mago debe preparar previamente las anillas de papel. Tiene que recortar tres rectángulos de 4 cm de ancho por 80 cm de largo, y, luego, con pegamento, debe pegar sus lados cortos para confeccionar las anillas.
Figure 1: Hay que recortar tres tiras de papel
La diferencia entre unas anillas y otras está en la forma de pegar los lados cortos de los rectángulos de papel. Para la primera anilla, se pegan juntos los vértices señalados con la misma letra en la figura 1. Para la segunda anilla, antes de hacer el pegado se le da media vuelta a uno de los lados cortos del rectángulo, de forma que se peguen juntos los vértices rotulados con distinta letra. Finalmente, para la tercera anilla, antes de hacer el pegado se le da una vuelta completa a uno de los lados cortos del rectángulo.
Dada la longitud de las tiras de papel, las torsiones realizadas en dos se las anillas resultan imperceptibles, sobre todo si se están moviendo en todo momento.
El resto del truco se desarrolla tal y como se explicó en la sección anterior. El mago no debe hacer nada más. Las tijeras y el papel (y las matemáticas) harán el resto del trabajo.

4.3  Truco matemático

La anillas de papel confeccionadas de la manera descrita tienen propiedades muy diferentes. La primera es un anillo normal (un cilindro) con dos caras distintas. Que el papel tenga dos caras distintas puede no sorprender a muchos, pero demostrar que las tiene no es cosa sencilla.
Podemos comprobar que, efectivamente, la primera anilla tiene dos caras de la siguiente forma. Ponemos la punta de un lápiz sobre una cara y sin levantarlo y sin pasar por los bordes, intentamos llegar a la otra. Es imposible. Hay dos dos caras.
La segunda anilla, que tiene media torsión, es la famosa cinta de Moebius. Sólo tiene una cara. Puede comprobarlo el lector usando el mismo método del lápiz descrito antes. En esta ocasión se comprobará que puede recorrer todo el papel sin levantar el lápiz y sin pasar por los bordes. Sólo haya una cara.
La tercera anilla es una cinta de Moebius con dos medias torsiones (o una torsión completa). ¿Cuántas caras tiene? Quizá el lector guste de entretenerse comprobándolo.
Otra de las diferencias entre las anillas es, precisamente, el efecto de un corte longitudinal, cosa que se aprovecha en este truco. Pruebe el lector a construir cintas de Moebius con más torsiones. ¿Cuántas caras tendrá una cinta con tres medias torsiones? ¿Y con cuatro? ¿Cuál será el resultado de cortarlas longitudinalmente?

5  La suma rara

5.1  Efecto

El mago2 entrega a un espectador el mazo de cartas de la baraja francesa para que las mezcle a conciencia. Le pide luego que escoja tres cartas al azar y las ponga, separadas, sobre la mesa sin que el mago pueda verlas. El mago explica que las cartas de la mesa valen tantos puntos como el número que lucen (los ases valen 1) pero que las cartas que aún están en el mazo valen un punto cada una.
A continuación, le solicita al espectador que, sobre cada carta de las de la mesa haga un montón de manera que se completen 15 puntos en cada uno de ellos. Por ejemplo, si el espectador eligió un 6, debe poner sobre ella otras nueve cartas. Estas cartas ha de ponerlas boca arriba. El mago tiene que permanecer de espaldas a la mesa para no ver nada.
Hecho todo lo anterior, el mago le pide al espectador que cuente las cartas que aún le quedan en el mazo y que lo diga en voz alta. Inmediatamente, el mago adivina la suma de las tres cartas que, al principio del juego, fueron elegidas y que aún están boca abajo sobre la mesa.

5.2  Truco mágico

De la baraja francesa deben quitarse las figuras y dejar, en cada palo, sólo el as y las cartas numeradas entre 2 y 10. De esta forma el mazo tiene 40 cartas. También puede usarse una baraja española de 40 cartas, anunciando que la sota valdrá 8 puntos, el caballo 9 y el rey 10. Mejor todavía sería usar la baraja española sin reyes ni caballos pero añadiendo los ochos y los nueves. Entonces, cada carta vale tantos puntos como el número que luce.
Cuando el mago oiga el número sobrante de cartas que aún están en el mazo del espectador, debe sumarle siempre 8. El resultado de esta suma coincide con la suma de las tres cartas elegidas.

5.3  Truco matemático

Sean n1, n2 y n3 los números de las cartas elegidas. El mago trata de adivinar el valor de S=n1+n2+n3. Una vez puestas en la mesa estas tres cartas, en el mazo del espectador quedan M=37 cartas.
Sobre la carta que vale n1 puntos se colocan 15-n1 cartas. Sobre la que vale n2 puntos se colocan 15-n2 cartas y, finalmente, sobre la que vale n3 puntos se colocan 15-n3 cartas, de forma que en el mazo quedan ahora:
M=37-(15-n1)-(15-n2)-(15-n3)=(n1+n2+n3)-8=S-8
Este número M es que el anuncia el espectador y se ve de manera inmediata que el mago, sumándole 8, obtiene S.
Este truco puede admitir, en principio, variaciones tanto en el número de cartas que el espectador debe colocar sobre la mesa como en el número de puntos que cada montón debe alcanzar. Supongamos que sobre la mesa se colocan k cartas de valores n1,n2,¼,nk. Supongamos además que cada montón debe alcanzar los p puntos. Entonces, al final del truco, el espectador debe anunciar el número:
M=(40-k)- k
å
i=1 
 (p-ni)=40-k- k
å
i=1 
 p+ k
å
i=1 
 ni=

=40-k-pk+S=40-k(1+p)+S=S-[k(1+p)-40]
El mago debe añadirle a este M la cantidad T=k(1+p)-40 para obtener el valor de S. En el truco anterior, donde k=3 y p=15, se obtiene T=8, pero si se decide hacer, por ejemplo, k=2 montones para que cada uno alcance p=11 puntos, entonces el mago ha de añadirle al número que anuncie el espectador la cantidad de T=-16.
El mago debe tomar la precaución de que siempre sea posible realizar el truco, es decir, que no le falten cartas al espectador para completar los montones. Para ello se tiene que cumplir que M ³ 0. Por tanto, S+40 ³ k(1+p) y de aquí de obtiene que p £ [(S+40)/k]-1. Como p ha de cumplir esta inecuación para todos los posibles valores de S, también lo tiene que hacer para su valor más pequeño, esto es, k (en el supuesto que todas las cartas iniciales sean el as). De manera que p £ [(k+40)/k]-1=[40/k].
Por otro lado, ha de cumplirse también que p ³ 10, pues de lo contrario podría ocurrir que uno de los valores ni > p y no se podría completar este montón. Así que se puede obtener la conclusión de que 10 £ p £ [40/k].
Obsérvese que el mayor valor que puede tomar k es 4. Si k ³ 5 llegaríamos a la contradicción 10 £ p £ [40/k] £ 8. Para k=4 debe ser p=10. Para k=3 se obtiene 10 £ p £ 13, por tanto, el truco propuesto tiene sus riesgos, no es completamente seguro, ya que en él se usan los valores k=3 y p=15. Si imaginamos que las tres cartas iniciales son ases, habría que poner sobre cada una de ellas 14 cartas, pero 3·14=42 > 40. ¡No habría cartas para completar todos los montones! ¿Podría el lector calcular cuál es la probabilidad de que le falle el truco al mago si lo propone con los valores k=3 y p=15?
Para k=2 se obtiene que 10 £ p £ 20 y, finalmente, para k=1 se obtiene que 10 £ p £ 40.
La respuesta a la pregunta anterior no es muy complicada. Las dos situaciones en las que el juego fallaría consisten en que las tres cartas elegidas sean ases o bien que haya dos ases y un 2. Hay formas de elegir los tres ases y hay formas de elegir dos ases y un 2. En total, hay 28 casos en los que fallaría el truco. Para sacar 3 cartas del mazo de 40 existen formas distintas, de forma que la probabilidad pedida es [28/9880] @ 0.003. Es decir, 3 de cada mil trucos saldrán mal, riesgo que el mago podría asumir.
Por otro lado, cuando el espectador anuncie que le faltan cartas, el mago podría preguntarle entonces que cuántas le faltan. La respuesta sólo puede ser 4 ó 5. En el primer caso el mago puede responder que S=4 y en el segundo que S=3, saliendo airoso del trance y con un éxito total porque, además, puede adivinar cuáles son las cartas que hay boca abajo (salvo el palo).

6  Las 27 cartas

Este truco es muy conocido y no existe sobremesa familiar que se precie en la que no se haya presentado alguna vez. Aunque tiene diferentes nombres y se puede realizar con distinto número de cartas, he preferido presentar dos versiones: la clásica y la que se da en Tamariz (1991)3.

6.1  Efecto de la versión clásica

El mago enseña a un espectador 21 cartas, previamente mezcladas, una a una, disponiéndolas en tres montones. El espectador, sin que el mago lo vea, debe anotar en un papel una de esas 21 cartas, la que desee. Luego, debe decirle al mago el montón que contiene la carta elegida. El mago recoge los tres montones y vuelve a repartir las cartas, cara arriba, en tres montones. El espectador debe decir cuál de los montones contiene ahora su carta. De nuevo, el mago recoge los montones y hace otra vez tres de ellos. El espectador dice nuevamente dónde está su carta. El mago adivina la carta elegida.

6.2  Efecto de la versión de Tamariz

El mago baraja bien un mazo de 27 cartas y las va mostrando una a una haciendo con ellas tres montones. El espectador elige mentalmente (o anota en un papel) una de las cartas y comunica al mago en qué montón se encuentra la carta elegida. Entonces el mago mezcla bien uno de los montones, lo corta, lo da a cortar al espectador y reúne los tres montones. Otra vez el mago muestra las cartas y hace los tres montones. El espectador dice en cuál de ellos se encuentra su carta. El mago mezcla bien dos de los montones, corta y da a cortar y unifica el mazo. Por última vez, el mago repite el proceso de hacer los tres montones mostrando las caras de las cartas. Cuando el espectador señala el montón que contiene la carta elegida, el mago pide que se mezclen los tres montones por separado y luego juntos y que se corten tantas veces como se desee. El mago, tocando las cartas por el dorso, sin ver las caras, adivina la carta elegida.

6.3  Truco mágico de la versión clásica

Cada vez que el espectador señale el montón que contiene la carta elegida, el mago, al recomponer el mazo, debe tomar la precaución de colocarlo entre los otros dos montones. Si se hace así las tres veces, la carta elegida queda colocada en la posición 11 del mazo, es decir, justo en su centro.
El mago puede contar las 10 primeras cartas cara arriba y anunciar que la siguiente carta será la elegida por el espectador.

6.4  Truco mágico de la versión de Tamariz

Tamariz incluye en su versión más cartas, cortes y mezclas reales de cartas, lo que le da un toque más mágico que la versión clásica, pero el fundamento es el mismo, como se verá.
Tras hacer tres montones de nueve cartas y después de que el espectador haya dicho el que contiene su carta, el mago coge cualquier otro montón, lo mezcla o da a mezclar y lo deja caer sobre el señalado por el espectador. El mago tiene que memorizar la carta que queda cara arriba en este mazo. Supongamos que es el cuatro de copas. Coloca el tercer montón sobre estos dos, corta la baraja y la da a cortar al espectador. El mago extiende las cartas cara arriba y corta de forma que la única carta visible sea el cuatro de copas. Como se puede observar, tras estas operaciones, el montón que contiene la carta elegida queda en el centro del mazo, como en la versión clásica.
Ahora, con el mazo dorso arriba, el mago reparte otra vez los tres montones enseñando todas las cartas. El espectador indica el montón que contiene su carta. El mago coge uno de los otros dos montones y lo mezcla bien, dejándolo luego sobre el que contiene la carta elegida. Otra vez el mago memoriza la carta que queda visible en este mazo, por ejemplo el tres de espadas. El mago coge ahora el tercer montón, lo mezcla y lo coloca sobre los otros dos montones. Corta el mazo, lo da a cortar un par de veces y, de nuevo, busca la carta chivata, el tres de espadas, para cortar de forma que sea la única visible del mazo.
Otra vez con el mazo dorso arriba, se reparten los tres montones. Al llegar a la sexta carta de cada montón, se echa descuadrada. Lo mismo con la novena. Cuando el espectador anuncia el montón que contiene su carta, el mago memoriza la quinta de ese montón: es la carta elegida. El mago pide al espectador que mezcle cada montón y luego los tres juntos. Mientras que comenta que es imposible adivinar la carta, puesto que se ha cortado y mezclado varias veces, despliega las cartas de cara y, por su dorso, va pasando el dedo, hasta que la magia lo hace detenerse en una de ellas, que es, por supuesto, la elegida por el espectador.
En el libro mencionado4, Tamariz añade otra variante aún más interesante bajo el epígrafe Nota para los matemáticos. Se trata de hacer los tres montones, como antes, y pedirle al espectador que nos diga en qué lugar (primero, segundo o tercero) quiere que coloquemos el montón que tiene la carta elegida. Y esto las tres veces. Supongamos que dice el lugar M1 la primera vez, el M2 la segunda vez y el M3 la tercera, con Mi variando entre 1 y 3. Entonces, se cumple que la carta se encuentra en el lugar P=M1+3M2+9M3-12, contando siempre de arriba hacia abajo en el mazo dispuesto con el dorso hacia arriba. A este resultado le pondremos el nombre de Teorema de Tamariz.

6.5  Truco matemático

En ambas versiones, la matemática funciona exactamente igual. Lo importante es que el montón que contiene la carta elegida se coloca en el centro del mazo cada vez. Los cortes y mezclas que propone Tamariz sólo alteran el orden de los otros dos montones, pero no el de la carta del espectador.
Analicemos la versión clásica de 21 cartas. Las cartas del mazo las numeraremos de 0 a 20. Una vez que se distribuyen en tres montones por primera vez, podemos imaginar que las cartas forman una matriz de dimensión 7x3, donde las filas están numeradas de 0 a 6 y las columnas de 0 a 2. Cada columna de esta matriz representa uno de los montones que se hacen con las cartas. Supongamos que la carta elegida por el espectador ocupa la posición del elemento af1,m1 de la matriz de cartas, es decir, pertenece a la fila f1 de la columna m1. Cuando rehacemos el mazo dejando la columna m1 en su centro, la carta elegida ocupa la posición p1=7+f1. Dado que 0 £ f1 £ 6 se tiene que 7 £ p1 £ 13. Como desconocemos el valor de f1 aún no podemos adivinar la carta elegida.
Al distribuir de nuevo las cartas en tres montones, la carta número k se coloca en la fila número E[[k/3]], donde E[x] es la parte entera del número real x. Por tanto, la carta elegida está en la fila f2=E[[(p1)/3]]. Dados los valores anteriores de p1 se tiene que f2e{2,3,4}. Cuando se rehace el mazo, dejando en su centro el que contiene a la elegida, ésta ocupa la posición p2=7+f2 y, por tanto, p2e{9,10,11}.
Cuando, por tercera vez, se distribuyen los tres montones, la carta elegida queda en la fila f3=E[[(p2)/3]], de donde se obtiene que f3=3 en todos los casos. Cuando el mazo es rehecho, dejando en su centro el montón de la carta elegida, ésta ocupa la posición p3=7+f3=10, de forma que es la undécima carta del mazo (recordemos que las cartas se numeran desde 0).
Para la versión de 27 cartas poco hay que cambiar respecto a lo que ya se ha dicho. Las cartas ahora se consideran numeradas del 0 al 26. Entonces, si la carta se encuentra en la fila f1 (ahora f1 varía entre 0 y 8), tras rehacer el mazo dejando en su centro el montón que contiene a la carta elegida, ésta ocupa la posición p1=9+f1, lo que significa que 9 £ p1 £ 17. Cuando se hacen los tres montones por segunda vez, la carta elegida está colocada en la fila f2=E[[(p1)/3]], cuyos posibles valores varían entre 3 y 5. Al rehacer el mazo de la forma descrita, la carta elegida ocupa la posición p2=9+f2 cuyos valores varían entre 12 y 14.
Finalmente, cuando se hacen los tres montones otra vez, la carta elegida ocupa la fila f3=E[[(p2)/3]] cuyo único valor es f3=4, por eso indica Tamariz que, una vez que el espectador dice el montón que la contiene, la carta elegida ocupa la quinta posición. En esta variante no se recompone el mazo de la forma anterior. Si se hiciera, la carta elegida ocuparía la posición p3=9+f3=13. Se trataría de la décimocuarta carta, es decir, la que ocupa la posición central del mazo.
Veamos ahora una generalización del truco. Sea N el número de cartas del mazo, siendo N=3n. Cada montón contiene n cartas numeradas desde el 0 hasta el n-1. Tras hacer los tres montones, supongamos que la carta elegida por el espectador está en la fila f1 con 0 £ f1 £ n-1. Cuando se rehace el montón por primera vez, la carta elegida ocupa la posición p1=n+f1, cuyos valores varían entre n y 2n-1.
Al hacer los tres montones por segunda vez, la carta elegida se encuentra en la fila f2=E[[(p1)/3]], cuyos valores varían entre E[[n/3]] y E[[(2n-1)/3]]. En el mazo reunificado siguiendo las reglas del truco, la carta elegida ocupará la posición p2=n+f2 donde n+E[[n/3]] £ p2 £ n+E[[(2n-1)/3]].
De lo anterior deducimos que f3=E[[(p2)/3]] con
E é
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ë
n+E é
ë 		n
3
 ù
û
3
 ù
ú
û 		£ f3 £ E é
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n+E é
ë 		2n-1
3
 ù
û
3
 ù
ú
û
y, de aquí, tenemos que p3=n+f3. Si queremos que este valor sea único para poder determinar así cuál es la carta elegida por el espectador, tenemos que exigir también que f3 sea único, es decir, que
E é
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n+E é
ë 		n
3
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ú
û 		=E é
ê
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n+E é
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û
3
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ú
û
para lo que debe cumplirse que
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ë 		n+E é
ë 		2n-1
3
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ë 		n+E é
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3
 ù
û 		ù
û 		= E é
ë 		2n-1
3
 ù
û 		-E é
ë 		n
3
 ù
û 		£ 2
y, para esto, debe cumplirse que (2n-1)-n £ 8 es decir n £ 9. Por tanto, cada montón ha de tener, como máximo, 10 cartas y, por consiguiente, el mazo puede ser como mucho de 30 cartas.
Demostraremos ahora el Teorema de Tamariz. Éste afirma que si el montón que contiene la carta elegida se coloca en las posiciones M1, M2 y M3 cada vez que se recogen las cartas, con Mie{1,2,3}, entonces la carta elegida se encuentra colocada en la posición P=M1+3M2+9M3-12 del mazo de cartas colocado dorso arriba. Supongamos que el mazo tiene 27 cartas, numeradas, como antes, entre 0 y 26. Según la notación anterior, tenemos que demostrar que p3=P-1.
Supongamos que la carta elegida se encuentra en la fila f1, con 0 £ f1 £ 8 y que el espectador decide colocar el montón de la carta elegida en el lugar M1 con 1 £ M1 £ 3. Al rehacer el mazo, la carta elegida ocupa la posición p1=9(M1-1)+f1. Para lo que sigue, usaremos varias veces la propiedad de la función E[x] que dice que si n es un entero y x un número real, entonces E[n+x]=n+E[x].
Cuando el mago hace los tres montones por segunda vez, la carta elegida se coloca en la fila
f2=E é
ë 		p1
3
 ù
û 		=E é
ë 		9(M1-1)+f1
3
 ù
û 		= E é
ë 		3(M1-1)+ f1
3
 ù
û 		=

=3(M1-1)+E é
ë 		f1
3
 ù
û
de donde obtenemos que la posición que ocupa al ser rehecho el mazo (colocando el montón de la carta elegida en la posición M2) es
p2=9(M2-1)+f2=9(M2-1)+3(M1-1)+E é
ë 		f1
3
 ù
û
y, por tanto, al hacer los tres montones por última vez, la carta elegida está en la fila
f3=E é
ë 		p2
3
 ù
û 		=E é
ê
ë
9(M2-1)+3(M1-1)+E é
ë 		f1
3
 ù
û
3
 ù
ú
û 		=

=E é
ê
ë 		3(M2-1)+(M1-1)+
E é
ë 		f1
3
 ù
û
3
 ù
ú
û 		=3M2+M1-4+E é
ê
ë
E é
ë 		f1
3
 ù
û
3
 ù
ú
û
y como f1 varía entre 0 y 8, se tiene que E[[(f1)/3]] varía entre 0 y 2, de donde obtenemos que E[[(E[[(f1)/3]])/3]]=0 y, entonces f3=3M2+M1-4.
Finalmente, tras rehacer el mazo por tercera vez, colocando el montón de la carta elegida en el lugar M3, se tiene que la carta del espectador se encuentra en la posición
p3=9(M3-1)+f3=9M3-9+3M2+M1-4=P-1
como se quería demostrar.

7  Las 25 cartas

Tras hacer varias veces alguna de las variantes anteriores, me gusta hacerles a mis amigos el siguiente truco, parecido en apariencia. Los amigos siempre quieren descubrir el secreto del truco magia y disfrutan si lo hacen o si el truco falla, así que la mejor manera de despistarlos es fingir que uno lo ha olvidado o que todo está saliendo mal. El hecho de hacerlo tras los anteriores trucos desvía la atención de los espectadores, quienes esperan algo parecido de verdad. Yo lo presento así.

7.1  Efecto

El mago distribuye un mazo de 25 cartas en cinco montones de cinco cartas cada uno y el espectador elige en secreto una de ellas. El espectador informa al mago sobre el montón donde se encuentra ubicada la carta elegida. El mago da a barajar cada montón de cartas y luego los recoge en el orden que el espectador le indique.
Otra vez, el mago distribuye las cartas en cinco montones iguales y otra vez el espectador dice en qué montón se encuentra la carta elegida. Cuando el mago está recogiendo los montones según las indicaciones del espectador, las cartas se le caen sobre la mesa de forma desordenada. El mago anuncia que así es imposible que el truco salga bien pero que, de todas formas, para que no se sientan desencantados, elegirá una carta al azar para ver si acierta. Entonces el mago señala exactamente la carta elegida por el espectador.

7.2  Truco mágico

El mago, tras distribuir las 25 cartas en los cinco montones iguales formando una matriz, debe memorizar el lugar donde coloca el montón que contiene la carta elegida. Es indiferente el orden en el que se recojan las cartas de este o de otro montón, lo importante es mantener unido el montón principal (el que tiene la carta del espectador). Incluso podría dar al espectador cada montón para que lo barajara, introduciendo así más caos en ellos. Supongamos que se coloca el montón principal en la posición n. Cuando, por segunda vez, el espectador le diga el número de montón (supongamos que es el m), el mago debe buscar la carta que se encuentra en el cruce de la fila n con la columna m. Ésa es la carta elegida por el espectador. Lo que sigue en la descripción anterior es puro chanchullo para despistar a los demás. También podría el mago fingir que mezcla accidentalmente la baraja tras recoger los montones la segunda vez y, luego, buscar la carta en cuestión de alguna forma mágica.

7.3  Truco matemático

Imaginemos las 25 cartas dispuestas en una matriz 5x5 y que el montón principal se coloca en el lugar n, con 1 £ n £ 5, al ser recogidas todas las cartas. El orden de las cartas es siempre el del mazo dorso arriba. Una vez recogidas y redistribuidas en los cinco montones (columnas de nuestra matriz), las cinco primeras cartas, que antes formaban un mismo montón, van a parar todas a la primera fila; las cinco siguientes, que provienen del mismo montón, forman la segunda fila y, así, cada antiguo montón forma una misma fila. Esta acción de recoger las cartas y distribuirlas de nuevo tiene el efecto, por tanto, de cambiar cada montón, cada columna, en una fila, es decir, de trasponer la matriz. Si el montón principal ha sido colocado en el lugar n del mazo, ahora ocupará la fila n de la nueva matriz. Una de las cinco cartas que componen esta fila es la carta elegida.
Cuando el espectador, por segunda vez, informa al mago del montón donde está ubicada su carta, le está diciendo la columna donde se sitúa y, como ya sabemos su fila, sólo hay que buscar el cruce de ambas.

8  Las tres joyas

Este truco aparece en Deveraux (1995), pero me he permitido modificarlo un poco para que se comprenda mejor, sobre todo la última parte del truco mágico.

8.1  Efecto

El mago se presenta con tres joyas u objetos: un anillo, una billetera y una cadena (o los pide al público) y solicita la colaboración de tres voluntarios. A uno de ellos le entrega un botón de una bandeja que tiene dispuesta para la ocasión, a otro le entrega dos botones y al último le da tres botones.
Con el mago de espaldas, cada voluntario coge una de las joyas. Luego, el mago le pide a la persona que cogió el anillo que retire de la bandeja tantos botones como le fueron entregados, al que cogió la billetera le pide que retire de la bandeja el doble de los que le fueron entregados y, finalmente, al que cogió la cadena le pide que retire el cuádruple de los que le dieron al principio. El mago, entonces, se vuelve y adivina cuál de los voluntarios cogió el anillo, cuál la billetera y cuál la cadena.

8.2  Truco mágico

El mago debe preparar una bandeja con 24 botones. Mentalmente, debe asignar a cada voluntario el número de botones que le entrega. Entonces, tras realizar todo lo referido en el efecto, el mago cuenta, de un vistazo, los botones que quedan en la bandeja.
Sólo hay seis posibilidades: 1,2,3,5,6 ó 7 botones. En la tabla siguiente las presentamos todas con la solución del truco. Designamos con las letras A, B y C los objetos anillo, billetera y cadena, respectivamente. Con los números 1, 2 y 3 se designan los voluntarios, según recibieron al principio del juego 1, 2 ó 3 botones.
Quedan A B C
1 1 2 3
2 2 1 3
3 1 3 2
5 3 1 2
6 2 3 1
7 3 2 1
Por ejemplo, si en la bandeja quedan 5 botones, entonces el tercer voluntario tiene el anillo, el primer voluntario tiene la billetera y el segundo voluntario tiene la cadena.
El principal problema con el que se enfrenta el mago es el de memorizar la tabla anterior. En el libro mencionado, al anillo (allí es reloj) se le asigna la letra A, a la billetera (allí es pulsera) se le asigna la E y a la cadena (allí es alfiler de corbata) se le asigna la I. Para recordar la tabla anterior se usa una lista ordenada de palabras, tales como <<Café>>, <<César>>, <<Cádiz>>... cuyas vocales nos dan la asignación de joyas. Por ejemplo, si en la bandeja quedan tres botones, entonces el mago recupera la tercera palabra <<Cádiz>> y deduce que el primer voluntario tiene el anillo, que el segundo tiene la cadena y que el tercero, por eliminación, tiene la billetera.
El método que yo propongo es de tipo numérico. Sea R el número de botones que quedan en la bandeja. Se trata de formar una terna con los números 1, 2, 3 de la siguiente forma.

8.3  Truco matemático

Cuando a cada persona le asignamos un número (1, 2 ó 3), a cada objeto una letra (A, B ó C) y luego establecemos una correspondencia biunívoca entre números y letras, lo que se produce es una ordenación de las letras, esto es, una permutación. Como hay tres letras, existen 3!=6 formas distintas de ordenarlas.
Supongamos los números x1, x2 y x3 donde xie{1,2,3} y donde xi ¹ xj si i ¹ j. Supongamos, además, que la persona que se llevó el anillo es la etiquetada con el número x1, que la que se llevó la billetera es la etiquetada con x2 y que la que se llevó la cadena es la etiquetada con x3.
Como el mago, al principio, entrega un botón a una persona, dos a otra y tres a otra, en la bandeja que contenía 24 botones sólo quedan 18. Además, se retiran de la bandeja x1+2x2+4x3 botones. En definitiva, sobre la bandeja, el mago ve R=18-x1-2x2-4x3 botones.
Los posibles valores de R, que dependen de las seis permutaciones de tres elementos, se recogen en la siguiente tabla:
A B C x1+2x2+4x3 R
1 2 3 17 1
2 1 3 13 2
1 3 2 15 3
3 1 2 13 5
2 3 1 12 6
3 2 1 11 7
Como, en cada caso, el valor de R es diferente, se puede establecer una relación biunívoca entre los valores de R y cada una de las permutaciones, de manera que conociendo el valor de R puede determinarse la permutación correspondiente. La forma de establecer esta relación puede ser cualquiera de las dos descritas en el truco mágico u otra que al lector se le ocurra.
Quizás alguna persona se extrañe de que el mago le indique a la persona que cogió la cadena que retire cuatro veces el número de botones que recibió en lugar de que retire tres veces esa cantidad, como podría parecer más lógico. De esta manera tendríamos que R=18-x1-2x2-3x3. Puede entretenerse el lector en averiguar por qué no puede hacerse así antes de leer el párrafo siguiente.
Para variar la cantidad de botones que cada voluntario debe retirar de la bandeja, siempre en términos de múltiplos de los que recibieron del mago, hay que tener en cuenta que los posibles valores de R han de ser todos diferentes. Si dos de ellos fueran iguales, el mago no podría distinguir entre dos permutaciones distintas y podría equivocar su adivinación.

9  Forzar una carta

Muchos trucos de cartas empiezan <<forzando>> una carta, es decir, haciendo que el espectador elija una carta que el mago previamente tiene preparada. En la sección llamada El reloj vimos una manera de forzar la carta que ocupa la posición 13 del mazo. Veamos una forma de forzar la carta numero 10 del mazo que aparece descrita en Tamariz (1991).

9.1  Efecto

El mago solicita a un espectador que diga un número entre 10 y 20, excluidos estos. Cuando lo dice, el mago hace un montón en la mesa con ese número de cartas, depositándolas una a una. Entonces el mago entrega este montón al espectador y le pide que sume los dos dígitos del número que dijo y que busque la carta que ocupa ese lugar en el montón que le ha entregado. Ésa será la carta elegida por el especador y el mago ya puede adivinarla en cualquier momento. Por ejemplo, podría hacer el truco que aparece en Tamariz (1991). Tras forzar una carta, el mago da a mezclar la baraja al espectador. Cuando la recupera las va volteando una a una para ponerlas cara arriba sobre la mesa. En un momento dado aparecerá la carta elegida, pero el mago sin inmutarse sigue colocando cuatro o cinco cartas más. En ese momento anuncia que la próxima carta que va a voltear será la elegida por el espectador. Puede incluso ofrecerle alguna apuesta para que sea más interesante. El mago, por supuesto, no voltea la siguiente del mazo que tiene en la mano; busca la carta adecuada entre las que ya están sobre la mesa.

9.2  Truco mágico

La carta elegida por el espectador se encuentra ocupando la posición número 10 del mazo inicial, así que el mago debe poner allí la carta que quiera que sea la elegida o bien fijarse, disimuladamente, en la está en esa posición.

9.3  Truco matemático

Supongamos que el espectador dice el número N=10+m con 0 < m < 10. Entonces, al hacer el montón de N cartas sobre la mesa, se invierte su orden, de manera que la primera carta pasa a ser la número N, la segunda pasa a ser la N-1 y, en general, la carta número k pasa a ser la carta número N+1-k. En particular, la carta número 10 pasa a ser la número N+1-10=N-9=10+m-9=1+m, es decir, justamente la suma de las cifras del número N.
No habría problema en que el espectador eligiera el número N=10, puesto que la carta elegida iría a la posición 10+1-10=1 coincidiendo éste con la suma de las cifras de N. En cambio, si el espectador elige N=20 tenemos, por un lado, que la carta elegida se quedaría en la posición número 20+1-10=11 y, por otro lado, la suma de las cifras de N es 2. El truco fallaría.

10  El aceite flotante

Más que de un truco de magia (en realidad no hay truco mágico aquí), se trata de un experimento físico con explicación matemática. En Tamariz (1991), se presenta dentro del apartado llamado Magia científica. El autor explica que mucha gente piensa que los líquidos no tienen forma propia, sino que se adaptan a la forma del recipiente, y que con este truco el mago conseguirá demostrarles la verdadera forma de los líquidos.

10.1  Efecto

Se llena un vaso pequeño de aceite y de oliva y se coloca dentro de otro vaso más grande. Se vuelca sobre el vaso grande, llevando cuidado de que no caiga sobre el pequeño, una cantidad de alcohol suficiente para cubrir el vaso de aceite. Después, con una cucharilla, se va añadiendo agua poco a poco. En un momento dado el aceite saldrá del vaso pequeño y se quedará en equilibrio adoptando la forma de una esfera.

10.2  Truco matemático

El alcohol es menos denso que el aceite, de forma que cuando se añade alcohol el aceite permanece tal y como está dentro del vaso pequeño. Pero el aceite es menos denso que el agua, así que, conforme se va añadiendo agua, la fuerza de la gravedad que actúa sobre el aceite va siendo compensada con el empuje que experimenta hacia arriba (principio de Arquímedes) debido a la diferencia de densidades. En algún momento, el empuje iguala a la gravedad (o la supera un poquito). Podríamos entonces afirmar que, debido a la compensación entre estas dos fuerzas, sobre el aceite no actúa ninguna. Entonces, el aceite, libre de fuerzas tiende a optimizar su supercie exterior. Este es un hecho muy repetido en la naturaleza, desde las células hasta los planetas. Resulta que la superficie más pequeña que encierra un volumen dado es, precisamente, la esfera (por eso las células, los planetas y el aceite de este vaso adoptan esta forma).
La bola de aceite se mantiene en equilibrio pero, si queremos que ascienda, sólo hay que añadirle más agua. De esta forma el empuje superará a la gravedad.

Footnotes:

1El truco aparece en Deveraux (1995)
2El truco aparece en Deveraux (1995)
3La versión clásica de 21 cartas puede verse también en Deveraux (1995) con el nombre de La Elegida
4Se vende junto con un delicioso maletín de artículos de magia

Bibliografía

 File translated from TEX by TTH, version 3.76.
On 16 Sep 2006, 23:31. Más algunas modificaciones hechas por el autor del artículo.