FUNCIONES RACIONALES E IRRACIONALES

FUNCIONES RACIONALES

Funciones de proporcionalidad inversa

Las funciones de proporcionalidad son aquellas que se ajustan a la expresión y = . Sus gráficas son unas curvas denominadas hipérbolas.

Todas estas gráficas corresponden a funciones de proporcionalidad inversa con constante positiva, de su observación podemos deducir que si k > 0 entonces:

    1) Las dos ramas de la hipérbola se encuentran en los cuadrantes 1º y 3º.

    2) Cuanto mayor es k más separadas están las ramas del origen de coordenadas.

    3)Los ejes de coordenadas son las asíntotas de la hipérbola.

Estas otras gráficas corresponden a funciones de proporcionalidad inversa con constante negativa.

Luego si k < 0 entonces:

    1) Las dos ramas de la hipérbola se encuentran en los cuadrantes 2º y 4º.

    2) Cuanto mayor es |k| más separadas están las ramas del origen de coordenadas.

    3)Los ejes de coordenadas son las asíntotas de la hipérbola.

Funciones de la forma y =, y = 

Las funciones de la forma y = se obtienen sustituyendo x por x - a en la función y = , por tanto su gráfica será la de  y = desplazada "a" unidades a la derecha.

Por los idénticos motivos las gráficas de las funciones y = se obtendrán desplazando la gráfica de  y =   "a" unidades a la izquierda.

En ambos casos la asíntota horizontal es el eje OX y la vertical será la recta x = a, para la primera, x = - a para las segunda.

Funciones cocientes de polinomios de 1er grado

Toda función de la forma y = se puede obtener transformando una de proporcional inversa, para ello, supongamos que si dividimos ax + b entre cx + d obteniendo k de cociente y r de resto. 

Como en toda división se cumple que Dividendo = divisor · cociente + resto, entonces se obtiene la relación ax + b = (cx + d) · k + r.

Si dividimos ambos miembros de la igualdad anterior por cx + d, obtenemos:

, es decir, y = ; si ahora dividimos numerador y denominador de la fracción entre c y llamamos a r/c = h, y a d/c = m, llegamos a la expresión y =; la gráfica de esta función se obtiene desplazando "k" unidades verticalmente y "m" unidades horizontalmente la de la función y = .

Ejemplo:

luego 

dividiendo por 2 el numerador y el denominador se obtiene:  
La gráfica de esta función se consigue desplazando 2 unidades hacia arriba y hacia la derecha la de la función

FUNCIONES IRRACIONALES

Las siguientes imágenes muestran las gráficas de las funciones raíz cuadrada, cúbica, cuarta, etc.

Las funciones radicales de grado par están definidas sólo para los números reales mayores o iguales que cero.

Las funciones radicales de grado impar están definidas para todos los números reales.

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